排列组合怎么算（排列组合算法真厉害）

　　排列组合怎么算（排列组合算法真厉害）需求
　　最近工作中碰到一个需求：我们的数据表有多个维度，任意多个维度组合后进行 group by 可能会产生一些＂奇妙＂的反应，由于不确定怎么组合，就需要将所有的组合都列出来进行尝试。
　　抽象一下就是从一个集合中取出任意元素，形成唯一的组合。如 [a,b,c] 可组合为 [a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]。
　　要求如下：
　　组合内的元素数大于 0 小于等于 数组大小；
　　组合内不能有重复元素，如 [aab] 是不符合要求的组合；
　　组合内元素的位置随意，即 [ab] 和 [ba] 视为同一种组合；
　　看到这里，就应该想到高中所学习的排列组合了，同样是从集合中取出元素形成一个另一个集合，如果集合内元素位置随意，就是组合，从 b 个元素中取 a 个元素的组合有 种。而如果要求元素顺序不同也视为不同集合的话，就是排列，从 m 个元素取 n 个元素的排列有 种。
　　我遇到的这个需求就是典型的组合，用公式来表示就是从元素个数为 n 的集合中列出 种组合。
　　文中算法用Java实现。从排列到组合-穷举
　　对于这种需求，首先想到的当然是穷举。由于排列的要求较少，实现更简单一些，如果我先找出所有排列，再剔除由于位置不同而重复的元素，即可实现需求。假设需要从 [A B C D E] 五个元素中取出所有组合，那么我们先找出所有元素的全排列，然后再将类似 [A B] 和 [B A] 两种集合去重即可。
　　我们又知道 ，那么我们先考虑一种情况 ，假设是 ，从 5 个元素中选出三个进行全排列。
　　被选取的三个元素，每一个都可以是 ABCDE 之一，然后再排除掉形成的集合中有重复元素的，就是 5 选 3 的全排列了。
　　代码是这样：
　　对于结果组合的排重，我借用了 Java 中 HashSet 的两个特性：
　　元素唯一性，选取三个元素放到 Set 内，重复的会被过滤掉，那么就可以通过集合的大小来判断是否有重复元素了，
　　元素无序性，Set[A B] 和 Set[B A] 都会被表示成 Set[A B]。另外又由于元素唯一性，被同时表示为 Set[A B] 的多个集合只会保留一个，这样就可以帮助将全排列转为组合。可以注意得到，上面程序中 count 参数是写死的，如果需要取出 4 个元素的话就需要四层循环嵌套了，如果取的元素个取是可变的话，普通的编码方式就不适合了。
　　注: 可变层数的循环可以用 递归 来实现。
　　从排列到组合-分治
　　穷举毕竟太过暴力，我们来通过分治思想来重新考虑一下这个问题：
　　分治思想
　　分治的思想总的来说就是＂大事化小，小事化了＂，它将复杂的问题往简单划分，直到划分为可直接解决的问题，再从这个直接可以解决的问题向上聚合，最后解决问题。
　　从 M 个元素中取出 N 个元素整个问题很复杂，用分治思想就可以理解为：
　　首先，如果我们已经从 M 中元素取出了一个元素，那么集合中还剩下 M-1 个，需要取的元素就剩下 N-1 个。还不好解决的话，我们假设又从 M-1 中取出了一个元素，集合中还剩下 M-2 个，需要取的元素只剩下 N-2 个。直到我们可能取了有 M-N+1 次，需要取的元素只剩下一个了，再从剩余集合中取，就是一个简单问题了，很简单，取法有 M-N+1 种。如果我们解决了这个问题，已经取完最后一次了产生了 M-N+1 种临时集合，再考虑从 M-N+2 个元素中取一个元素呢，又有 M-N+2 种可能。将这些可能聚合到一块，直到取到了 N 个元素，这个问题也就解决了。
　　还是从 5 个元素中取 3 个元素的示例：
　　从 5 个元素中取 3 个元素是一个复杂问题，为了简化它，我们认为已经取出了一个元素，还要再从剩余的 4 个元素中取出 2 个，求解公式为：。从 4 个元素中取出 2 个依旧不易解决，那我们再假设又取出了一个元素，接下来的问题是如何从 3 个元素中取一个，公式为 。从 3 个元素中取 1 个已经是个简单问题了，有三种可能，再向上追溯，与四取一、五取一的可能性做乘，从而解决这个问题。代码实现
　　用代码实现如下：
　　其实就是 递归。
　　直击本质-位运算
　　从元素的全排列找全组合，比穷举略好，但还不是最好的方法，毕竟它＂绕了一次道＂。
　　很多算法都能通过位运算巧秒地解决，其优势主要有两点：一者位运算在计算机中执行效率超高，再者由于位运算语义简单，算法大多直指本质。
　　组合算法也能通过位运算实现。
　　思想
　　再次考虑全组合的需求，从 M 个元素中取任意个元素形成组合，组合内元素不能重复、元素位置无关。
　　之前的方法都是从结果组合是否满足要求来考虑问题，考虑组合是否有重复元素、是否已有同样的组合等条件。如果换种思路，从待选元素上来考虑呢？
　　对于每个元素来说，它的状态就简单得多了，要么被放进组合，要么不放进组合。每个元素都有这么两种状态。如果从 5 个元素中任意取 N 个元素形成组合的话，用二进制位来表示每个元素是否被放到组合里，就是：
　　看到这里，应该就非常清楚了吧，每种组合都可以拆解为 N 个二进制位的表达形式，而每个二进制组合同时代表着一个十进制数字，所以每个十进制数字都就能代表着一种组合。
　　十进制数字的数目我们很简单就能算出来，从00000... 到 11111... 一共有 种，排除掉全都不被放进组合这种可能，结果有种。