科普下三角形重心有什么性质三角形重心21怎么证明
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性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小性质四、在平面直角坐标系中重心的坐标是顶点坐标的算术平均数性质五、三角形内到三边距离之积最大的点
三角形的垂心定理：在三角形ABC中求证：它的三条高交于一点
证明：如图：作BE⊥AC于点ECF⊥AB于点F且BE交CF于点H连接AH并延长交BC于点D
现在我们只要证明AD⊥BC即可
因为CF⊥ABBE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形
四边形AFHE为圆内接四边形
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质
还可以通过向量证明
已知△ABC的两条高ADBE相交于H连接CH求证CH⊥AB
证明：设HA=aHB=bHC=c
则BC=c-bAC=c-aAB=b-a
∵HA⊥BC∴a*(c-b)=0
即a*c=a*b
同理b*c=a*b
∴a*c=b*c即c*(b-a)=0
∴CH⊥AB
证法三：运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明
已知：△ABC中ADBECF是高求证：ADBECF相交于一点
证明：过A作直线a∥BC过B作直线b∥AC过C作c∥AB设a与b交点为C'a与c交点为B’b与c交点为A‘
∵AC’∥BCAC∥BC'
∴四边形ACBC'是平行四边形
∴AC'=BC
同理AB'=BC
∴AB'=AC'A是B'C'中点
∵AD⊥BCBC∥B'C'∴AD⊥B'C'即AD是B‘C’的垂直平分线
同理BE是A'C'的垂直平分线CF是A'B'的垂直平分线
∵三角形三边的垂直平分线交于一点
∴ADBECF交于一点
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