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科普下三角形重心有什么性质三角形重心21怎么证明

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  性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小性质四、在平面直角坐标系中重心的坐标是顶点坐标的算术平均数性质五、三角形内到三边距离之积最大的点
  三角形的垂心定理:在三角形ABC中求证:它的三条高交于一点
  证明:如图:作BE⊥AC于点ECF⊥AB于点F且BE交CF于点H连接AH并延长交BC于点D
  现在我们只要证明AD⊥BC即可
  因为CF⊥ABBE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形
  四边形AFHE为圆内接四边形
  所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
  由∠FAH=∠FCB得
  四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC
  点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质
  还可以通过向量证明
  已知△ABC的两条高ADBE相交于H连接CH求证CH⊥AB
  证明:设HA=aHB=bHC=c
  则BC=c-bAC=c-aAB=b-a
  ∵HA⊥BC∴a*(c-b)=0
  即a*c=a*b
  同理b*c=a*b
  ∴a*c=b*c即c*(b-a)=0
  ∴CH⊥AB
  证法三:运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明
  已知:△ABC中ADBECF是高求证:ADBECF相交于一点
  证明:过A作直线a∥BC过B作直线b∥AC过C作c∥AB设a与b交点为C'a与c交点为B’b与c交点为A‘
  ∵AC’∥BCAC∥BC'
  ∴四边形ACBC'是平行四边形
  ∴AC'=BC
  同理AB'=BC
  ∴AB'=AC'A是B'C'中点
  ∵AD⊥BCBC∥B'C'∴AD⊥B'C'即AD是B‘C’的垂直平分线
  同理BE是A'C'的垂直平分线CF是A'B'的垂直平分线
  ∵三角形三边的垂直平分线交于一点
  ∴ADBECF交于一点

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